यदि int frac{1}{(sin x + 4)(sin x - 1)} dx = | vedclass

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Question

(D) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{1}{(\sin x + 4)(\sin x - 1)} dx$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(\sin x + 4)(\sin x - 1)} = \frac{1

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$A = \frac{2}{5}, B = -\frac{2}{5\sqrt{15}}, f(x) = \frac{4	an \frac{x}{2} + 1}{\sqrt{15}}$

Vedclass · Answer

(D) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{1}{(\sin x + 4)(\sin x - 1)} dx$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(\sin x + 4)(\sin x - 1)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{\sin x - 1} - \frac{1}{\sin x + 4} ight)$ है।$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $t = 	an \frac{x}{2}$ और $dx = \frac{2dt}{1+t^2}$,हमें प्राप्त होता है:$I = \frac{1}{5} \int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2} - 1} \frac{2dt}{1+t^2} - \frac{1}{5} \int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2} + 4} \frac{2dt}{1+t^2}$$I = \frac{1}{5} \int \frac{2dt}{2t - 1 - t^2} - \frac{1}{5} \int \frac{2dt}{2t + 4 + 4t^2}$$I = -\frac{2}{5} \int \frac{dt}{(t-1)^2} - \frac{1}{10} \int \frac{dt}{t^2 + \frac{1}{2}t + 1}$$I = \frac{2}{5(t-1)} - \frac{1}{10} \int \frac{dt}{(t + \frac{1}{4})^2 + (\frac{\sqrt{15}}{4})^2}$$I = \frac{2}{5(	an \frac{x}{2} - 1)} - \frac{1}{10} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} 	an^{-1} \left( \frac{t + 1/4}{\sqrt{15}/4} ight) + C$$I = \frac{2}{5(	an \frac{x}{2} - 1)} - \frac{2}{5\sqrt{15}} 	an^{-1} \left( \frac{4	an \frac{x}{2} + 1}{\sqrt{15}} ight) + C$ है।दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,हमें $A = \frac{2}{5}, B = -\frac{2}{5\sqrt{15}}, f(x) = \frac{4	an \frac{x}{2} + 1}{\sqrt{15}}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{1}{(\sin x + 4)(\sin x - 1)} dx = A \frac{1}{\tan \frac{x}{2} - 1} + B \tan^{-1}(f(x)) + C$ है,तो

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$\int {e^{x/2}} \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \, dx = $

$\begin{aligned} & \text{यदि } 5(f(x))^2 = x f(x) + 30 \text{ और } \\ & \int \frac{3 x^3 + (1 - 30 x^2) f(x)}{(10 f(x) - x)(x^3 - f(x))^2} dx \\ & = \frac{A}{B x^3 + D f(x)} + C, \text{ तो } A + B + D = \end{aligned}$

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