यदि m और n ऐसे पूर्णांक हैं कि (m - n) एक विष | vedclass

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Question

(B) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin(A) \cos(B) = \sin(A + B) + \sin(A - B)$ का उपयोग करते हैं।यहाँ,$A = nx$ और $B = mx$ है,इसलिए $\cos(mx) \sin(nx)

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$\frac{2n}{n^{2} - m^{2}}$

Vedclass · Answer

(B) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin(A) \cos(B) = \sin(A + B) + \sin(A - B)$ का उपयोग करते हैं।यहाँ,$A = nx$ और $B = mx$ है,इसलिए $\cos(mx) \sin(nx) = \frac{1}{2} [\sin((n + m)x) + \sin((n - m)x)]$.समाकल $I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} [\sin((n + m)x) + \sin((n - m)x)] \, dx$ हो जाता है।समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos((n + m)x)}{n + m} - \frac{\cos((n - m)x)}{n - m} \right]_{0}^{\pi}$ प्राप्त होता है।चूंकि $(m - n)$ विषम है,इसलिए $(m + n)$ भी विषम है। अतः,$\cos((n + m)\pi) = -1$ और $\cos((n - m)\pi) = -1$.सीमाओं पर मान रखने पर: $I = \frac{1}{2} \left[ (-\frac{-1}{n + m} - \frac{-1}{n - m}) - (-\frac{1}{n + m} - \frac{1}{n - m}) \right]$.$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{n + m} + \frac{1}{n - m} + \frac{1}{n + m} + \frac{1}{n - m} \right] = \frac{1}{n + m} + \frac{1}{n - m}$.$I = \frac{(n - m) + (n + m)}{n^{2} - m^{2}} = \frac{2n}{n^{2} - m^{2}}$.

यदि $m$ और $n$ ऐसे पूर्णांक हैं कि $(m - n)$ एक विषम पूर्णांक है,तो निश्चित समाकल $\int_{0}^{\pi} \cos(mx) \sin(nx) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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