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Question

(C) माना $I = \int \frac{x^4 + 1}{x(x^2 + 1)^2} dx$. अंश में $x^2$ जोड़ें और घटाएं: $I = \int \frac{x^4 + x^2 - x^2 + 1}{x(x^2 + 1)^2} dx$ $I = \int \

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$A = 1, B = 1$

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(C) माना $I = \int \frac{x^4 + 1}{x(x^2 + 1)^2} dx$. अंश में $x^2$ जोड़ें और घटाएं: $I = \int \frac{x^4 + x^2 - x^2 + 1}{x(x^2 + 1)^2} dx$ $I = \int \frac{x^2(x^2 + 1) - (x^2 - 1)}{x(x^2 + 1)^2} dx$ $I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} dx$. अब समाकलन करने पर: $I = \ln |x| - \int \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} dx$. माना $t = x^2 + 1$,तब $dt = 2x dx$. $I = \ln |x| - \int t^{-2} dt = \ln |x| + \frac{1}{x^2 + 1} + c$. इसकी तुलना $A \ln |x| + \frac{B}{1 + x^2} + c$ से करने पर,हमें $A = 1$ और $B = 1$ प्राप्त होता है।

यदि $\int {\frac{{{x^4} + 1}}{{x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} dx = A \ln |x| + \frac{B}{{1 + {x^2}}} + c$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है,तो:

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यदि $\int e^{3x} \cos 4x \,dx = e^{3x} (A \sin 4x + B \cos 4x) + c$ है,तो:

यदि $\int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} d x=A \sin 2 x+B$ है,तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।

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