यदि f(x) = A sin left( frac{pi x}{2} right) + | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = A \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{A \pi}{2} \cos \left( \frac{\pi x}{2}

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$\frac{4}{\pi} 	ext{ और } 0$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = A \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{A \pi}{2} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)$ प्राप्त होता है। दिया गया है $f'(1/2) = \sqrt{2}$,अतः $\frac{A \pi}{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}$. चूँकि $\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$,इसलिए $\frac{A \pi}{2 \sqrt{2}} = \sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $A = \frac{4}{\pi}$. अब,$\int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} \left( A \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B \right) dx = \frac{2A}{\pi}$. समाकलन करने पर: $\left[ -\frac{2A}{\pi} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) + Bx \right]_{0}^{1} = \frac{2A}{\pi}$. सीमाएँ रखने पर: $(-\frac{2A}{\pi} \cos(\pi/2) + B) - (-\frac{2A}{\pi} \cos(0) + 0) = \frac{2A}{\pi}$. चूँकि $\cos(\pi/2) = 0$ और $\cos(0) = 1$,इसलिए $B + \frac{2A}{\pi} = \frac{2A}{\pi}$ प्राप्त होता है। अतः,$B = 0$. इस प्रकार,$A = \frac{4}{\pi}$ और $B = 0$.

यदि $f(x) = A \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$,$f'(1/2) = \sqrt{2}$ और $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{2A}{\pi}$ है,तो स्थिरांक $A$ और $B$ क्रमशः ज्ञात कीजिए।

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