यदि $PN$ आयताकार अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ पर स्थित किसी बिंदु $P$ से उसके किसी भी अनंतस्पर्शी (asymptote) पर डाला गया लंब है,तो $PN$ के मध्य बिंदु का बिंदुपथ क्या है?

उस बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी स्पर्श जीवा अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के सापेक्ष,अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की नाभियों को जोड़ने वाली रेखा को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त को स्पर्श करती है।

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) की नियताओं (directrices) के बीच की दूरी $10$ इकाई है,तो इसकी नाभियों (foci) के बीच की दूरी क्या है?

मान लीजिए $P, Q, R, S$ वृत्त $x^2+y^2=4$ और अतिपरवलय $xy=\sqrt{3}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। यदि $P=(\alpha, \beta)$ और $\alpha>\beta>0$ है,तो अतिपरवलय पर $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

यदि बिंदु $(1,1)$ और मूल बिंदु अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{1} = 1$ $(a > 0)$ के सापेक्ष एक ही क्षेत्र में स्थित हैं,तो $a$ का परिसर क्या है?