यदि x^2 + y^2 = R^2 (R 0) है,तो k = frac{y' | vedclass

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Question

(B) वृत्त का समीकरण दिया गया है: $x^2 + y^2 = R^2$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2yy' = 0$,जो सरल होकर $x + yy' = 0$ बनता है,अतः $y' = -\frac{x}

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$-\frac{1}{R}$

Vedclass · Answer

(B) वृत्त का समीकरण दिया गया है: $x^2 + y^2 = R^2$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2yy' = 0$,जो सरल होकर $x + yy' = 0$ बनता है,अतः $y' = -\frac{x}{y}$.पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1 + (y')^2 + yy'' = 0$.अतः,$y'' = -\frac{1 + (y')^2}{y}$.$k$ का सूत्र $k = \frac{y''}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$ है।$y''$ का मान रखने पर: $k = \frac{-(1 + (y')^2)}{y(1 + (y')^2)^{3/2}} = -\frac{1}{y\sqrt{1 + (y')^2}}$.चूंकि $y' = -\frac{x}{y}$,इसलिए $1 + (y')^2 = 1 + \frac{x^2}{y^2} = \frac{y^2 + x^2}{y^2} = \frac{R^2}{y^2}$.अतः,$\sqrt{1 + (y')^2} = \frac{R}{|y|}$.इस मान को $k$ में रखने पर: $k = -\frac{1}{y \cdot (R/|y|)} = -\frac{1}{R} \cdot \frac{|y|}{y}$.यदि हम $y > 0$ लें,तो $k = -\frac{1}{R}$ प्राप्त होता है।

यदि $x^2 + y^2 = R^2$ $(R > 0)$ है,तो $k = \frac{y''}{\sqrt{(1 + (y')^2)^3}}$ है। $k$ का मान केवल $R$ के पदों में क्या होगा?

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