यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x \ln(\cos x)}{\ln(1 + x^2)} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ है,तो:

यदि $f(x) = \begin{cases} e^x + a & \text{for } x < 0 \\ x - 3 & \text{for } x \geqslant 0 \end{cases}$ $x = 0$ पर अवकलनीय है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} a \sin(x + b) & x \ge 0 \\ 6x^7 - x + 1 & x < 0 \end{cases}$ सभी वास्तविक $x$ के लिए अवकलनीय है। यदि $a \in \mathbb{R}$ और $b \in [0, 2\pi]$ है,तो $(a, b)$ के क्रमित युग्मों की संख्या क्या है?

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें।
$(a)$ यदि कोई फलन बिंदु $p$ पर अवकलनीय है तो वह $p$ पर संतत नहीं है।
$(b)$ यदि कोई फलन $x = a$ पर संतत नहीं है, तो वह $x = a$ पर अवकलनीय नहीं है।
$(c)$ यदि $f(x) = |x|$ है तो $f(x)$, $R$ पर अवकलनीय नहीं है लेकिन संतत है।
$(d)$ यदि $f(x) = x - [x]$ है, तो $f'(1) = 1$ है।
उपरोक्त में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?

यदि $f$ एक वास्तविक मान वाला अवकलनीय फलन है जो सभी $x, y \in R$ के लिए $|f(x) - f(y)| \le (x - y)^2$ को संतुष्ट करता है और $f(0) = 0$ है,तो $f(1)$ का मान क्या होगा:

मान लीजिए $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ . . . . पर अवकलनीय है।