यदि ^{2017}C_0 + ^{2017}C_1 + ^{2017}C_2 + .. | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{n} {^{n}C_r} = 2^n$ होता है।$n = 2017$ के लिए,योग $\sum_{r=0}^{2017} {^{2017}C_r} = 2^{2017}$

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$25$

Vedclass · Answer

(D) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{n} {^{n}C_r} = 2^n$ होता है।$n = 2017$ के लिए,योग $\sum_{r=0}^{2017} {^{2017}C_r} = 2^{2017}$ है।चूँकि $^{2017}C_r = ^{2017}C_{2017-r}$,इसलिए $\sum_{r=0}^{1008} {^{2017}C_r} = \frac{1}{2} 	imes 2^{2017} = 2^{2016}$ प्राप्त होता है।दिया गया है कि $2^{2016} = \lambda^2$,अतः $\lambda = \sqrt{2^{2016}} = 2^{1008}$ है।$\lambda = 2^{1008}$ को $33$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए,मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करते हैं:$2^5 = 32 \equiv -1 \pmod{33}$।अतः $\lambda = 2^{1008} = (2^5)^{201} 	imes 2^3$।$\lambda \equiv (-1)^{201} 	imes 8 \pmod{33}$।$\lambda \equiv -1 	imes 8 \pmod{33} = -8 \pmod{33}$।$-8 + 33 = 25$।अतः,शेषफल $25$ है।

यदि $^{2017}C_0 + ^{2017}C_1 + ^{2017}C_2 + ...... + ^{2017}C_{1008} = \lambda^2$ जहाँ $\lambda > 0$ है,तो $\lambda$ को $33$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात कीजिए:

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निम्नलिखित कथनों के संबंध में सही विकल्प चुनें:
$1$. $C_0+C_2+C_4+\ldots+C_n=2^{n-1}$,यदि $n$ सम है
$2$. $C_1+C_3+C_5+\ldots+C_{n-1}=2^{n-1}$,यदि $n$ सम है

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