यदि A = begin{bmatrix} 1 + a^2 + a^4 & 1 + ab | vedclass

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Question

(A) दिए गए आव्यूह $A$ को दो आव्यूहों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है: $A = \begin{bmatrix} 1 & a & a^2 \ 1 & b & b^2 \ 1 & c & c^2 \end{bmatrix

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(A) दिए गए आव्यूह $A$ को दो आव्यूहों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है: $A = \begin{bmatrix} 1 & a & a^2 \ 1 & b & b^2 \ 1 & c & c^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ a & b & c \ a^2 & b^2 & c^2 \end{bmatrix}$.अतः,$\det(A) = \det \begin{bmatrix} 1 & a & a^2 \ 1 & b & b^2 \ 1 & c & c^2 \end{bmatrix} 	imes \det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ a & b & c \ a^2 & b^2 & c^2 \end{bmatrix} = [(a-b)(b-c)(c-a)]^2$.यहाँ,$\det(4I) = 4^3 \det(I) = 64 	imes 1 = 64$.इसलिए,$[(a-b)(b-c)(c-a)]^2 = 64$,जिसका अर्थ है कि $(a-b)(b-c)(c-a) = \pm 8$.हम जानते हैं कि यदि $x+y+z=0$ हो,तो $x^3+y^3+z^3 = 3xyz$ होता है।यहाँ $x=(a-b)$,$y=(b-c)$,और $z=(c-a)$ लेने पर,$x+y+z = (a-b)+(b-c)+(c-a) = 0$ होता है।अतः,$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) = 3(\pm 8) = \pm 24$.

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