मान लीजिए $\omega$ एक सम्मिश्र संख्या $\cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3}$ है। तो $\left|\begin{array}{ccc} z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega \end{array}\right| = 0$ को संतुष्ट करने वाली भिन्न सम्मिश्र संख्याओं $z$ की संख्या कितनी है?

मान लीजिए $M$ पूर्णांक प्रविष्टियों वाला एक $2 \times 2$ सममित आव्यूह है। तो $M$ व्युत्क्रमणीय (invertible) है यदि:

यदि $A = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} \cos^2 \phi & \sin \phi \cos \phi \\ \sin \phi \cos \phi & \sin^2 \phi \end{bmatrix}$ और $\theta$ तथा $\phi$ का अंतर $\frac{\pi}{2}$ है,तो $AB = $

मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$ पूर्णांक प्रविष्टियों $a, b, c$ वाला एक $2 \times 2$ सममित आव्यूह है। निम्नलिखित में से कौन सी शर्तें यह सुनिश्चित करती हैं कि $M$ व्युत्क्रमणीय है?
$(A)$ पहला स्तंभ दूसरी पंक्ति के परिवर्त के बराबर है।
$(B)$ दूसरी पंक्ति पहले स्तंभ के परिवर्त के बराबर है।
$(C)$ $M$ एक विकर्ण आव्यूह है जिसके विकर्ण अवयव शून्य नहीं हैं।
$(D)$ $ac$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है।

आव्यूह $\left[\begin{array}{ccc} 1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & 4 \sin 2 x \\ \sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & 4 \sin 2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+4 \sin 2 x \end{array}\right]$ के सारणिक का अधिकतम मान क्या है?

यदि $\begin{vmatrix} x+1 & x & x \\ x & x+\lambda & x \\ x & x & x+\lambda^2 \end{vmatrix} = \frac{9}{8}(103x+81)$ है,तो $\lambda$ और $\frac{\lambda}{3}$ किस समीकरण के मूल हैं?