જો $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના બે વ્યસ્ત શ્રેણિકો હોય,તો $adj \,(AB)$ કોના બરાબર થાય :-

માત્ર $0$ અથવા $1$ ઘટકો ધરાવતા $2 \times 2$ ક્રમના તમામ નિશ્ચાયકોના ગણમાંથી એક નિશ્ચાયક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. પસંદ કરેલ નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ હોય, તો $A^3 - 4A^2 - 6A$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $P=\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}, \theta > 0$. જો $B=P A P^T$,$C=P^T B^{10} P$ હોય અને $C$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,તો $m+n$ શોધો:

ધારો કે $\Omega$ એ તમામ $3 \times 3$ સંમિત શ્રેણિકોનો ગણ છે જેના તમામ ઘટકો $0$ અથવા $1$ છે. આમાંથી પાંચ ઘટકો $1$ છે અને ચાર ઘટકો $0$ છે.
$1.$ $\Omega$ માં શ્રેણિકોની સંખ્યા કેટલી છે?
$(A) 12$ $(B) 6$ $(C) 9$ $(D) 3$
$2.$ $\Omega$ માં એવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા કેટલી છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ નો ઉકેલ અનન્ય છે?
$(A) 4$ થી ઓછી $(B) 4$ કે તેથી વધુ પણ $7$ થી ઓછી $(C) 7$ કે તેથી વધુ પણ $10$ થી ઓછી $(D) 10$ કે તેથી વધુ
$3.$ $\Omega$ માં એવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા કેટલી છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ સુસંગત નથી?
$(A) 0$ $(B) 2$ થી વધુ $(C) 2$ $(D) 1$

જો $\omega$ એ સમીકરણ $x+\frac{1}{x}+1=0$ નું બીજ હોય,તો નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1+\omega & 1+\omega+\omega^2 \\ 3 & 4+3 \omega & 5+4 \omega+3 \omega^2 \\ 6 & 9+6 \omega & 11+9 \omega+6 \omega^2\end{array}\right|$ ની કિંમત કેટલી થાય?