જો I_n = int_{0}^{pi} frac{sin(nx)}{sin(x)} d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) તફાવત $I_{n+2} - I_n = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin((n+2)x) - \sin(nx)}{\sin(x)} dx$ ધ્યાનમાં લો. સૂત્ર $\sin(A) - \sin(B) = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \s

Vedclass · Accepted Answer

$5\pi$

Vedclass · Answer

(B) તફાવત $I_{n+2} - I_n = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin((n+2)x) - \sin(nx)}{\sin(x)} dx$ ધ્યાનમાં લો. સૂત્ર $\sin(A) - \sin(B) = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \sin(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin((n+2)x) - \sin(nx) = 2 \cos((n+1)x) \sin(x)$ મળે છે. તેથી,$I_{n+2} - I_n = \int_{0}^{\pi} 2 \cos((n+1)x) dx = [\frac{2 \sin((n+1)x)}{n+1}]_{0}^{\pi} = 0$. આનો અર્થ એ છે કે $I_n = I_{n+2}$. $n=1$ માટે,$I_1 = \int_{0}^{\pi} 1 dx = \pi$. $n=2$ માટે,$I_2 = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(2x)}{\sin(x)} dx = \int_{0}^{\pi} 2 \cos(x) dx = [2 \sin(x)]_{0}^{\pi} = 0$. જેમ કે $I_n = I_{n+2}$,બધા એકી પદો $I_1, I_3, \dots, I_9$ એ $\pi$ છે,અને બધા બેકી પદો $I_2, I_4, \dots, I_{10}$ એ $0$ છે. તેથી,$\sum_{n=1}^{10} I_n = (I_1 + I_3 + I_5 + I_7 + I_9) + (I_2 + I_4 + I_6 + I_8 + I_{10}) = 5(\pi) + 5(0) = 5\pi$.

જો $I_n = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin(x)} dx$ હોય,તો $\sum_{n=1}^{10} I_n$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{8 \sqrt{2} \cos x \, dx}{(1+e^{\sin x})(1+\sin ^4 x)} = \alpha \pi + \beta \log _e(3+2 \sqrt{2})$,જ્યાં $\alpha, \beta$ પૂર્ણાંકો છે,તો $\alpha^2+\beta^2$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int_0^{2024 \pi} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x=k$ હોય,તો $\left(\frac{2 k}{\pi}+1\right)=$

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}(2 \sin |x|+\cos |x|) d x=$

જો $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x \, dx = \frac{\pi}{2} \log \left(\frac{1}{2}\right)$ હોય,તો $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sec x \, dx = $

$\int_{2}^{3} \frac{(x+2)^2}{2x^2-10x+53} dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module