यदि P दीर्घवृत्त frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b | vedclass

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Question

(A) माना $PF_1 = r_1$ और $PF_2 = r_2$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा $\angle F_1PF_2$ का बाह्य कोण समद्विभाजक है,और $P$ पर अभिलंब $\angle F_1PF_2$ का आंतरिक क

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$1$

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(A) माना $PF_1 = r_1$ और $PF_2 = r_2$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा $\angle F_1PF_2$ का बाह्य कोण समद्विभाजक है,और $P$ पर अभिलंब $\angle F_1PF_2$ का आंतरिक कोण समद्विभाजक है।कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$P$ पर स्पर्श रेखा रेखाखंड $F_1F_2$ को $r_2 : r_1$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करती है,इसलिए $\frac{\left| F_2T \right|}{\left| F_1T \right|} = \frac{r_2}{r_1}$ है।$P$ पर अभिलंब रेखाखंड $F_1F_2$ को $r_2 : r_1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है,इसलिए $\frac{\left| F_2N \right|}{\left| F_1N \right|} = \frac{r_2}{r_1}$ है।अतः,$\frac{\left| F_2N \right|}{\left| F_1N \right|} = \frac{\left| F_2T \right|}{\left| F_1T \right|} = \frac{r_2}{r_1}$ है।दोनों अनुपातों पर योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) लगाने पर:$\frac{\left| F_2N \right| + \left| F_1N \right|}{\left| F_2N \right| - \left| F_1N \right|} = \frac{r_2 + r_1}{r_2 - r_1}$ और $\frac{\left| F_2T \right| - \left| F_1T \right|}{\left| F_2T \right| + \left| F_1T \right|} = \frac{r_2 - r_1}{r_2 + r_1}$ प्राप्त होता है।इन दोनों व्यंजकों का गुणा करने पर:$\left( \frac{\left| F_2N \right| + \left| F_1N \right|}{\left| F_2N \right| - \left| F_1N \right|} \right) \left( \frac{\left| F_2T \right| - \left| F_1T \right|}{\left| F_2T \right| + \left| F_1T \right|} \right) = \left( \frac{r_2 + r_1}{r_2 - r_1} \right) \left( \frac{r_2 - r_1}{r_2 + r_1} \right) = 1$।

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