यदि परवलय y^2=4x की एक जीवा उसके नाभि से होकर | vedclass

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Question

(C) माना $P(t^2, 2t)$ परवलय $y^2=4x$ की नाभीय जीवा $PQ$ का एक सिरा है। दूसरे सिरे $Q$ के निर्देशांक $(\frac{1}{t^2}, \frac{-2}{t})$ हैं,जहाँ $tt' = -1

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$4 \operatorname{cosec}^2 	heta$

Vedclass · Answer

(C) माना $P(t^2, 2t)$ परवलय $y^2=4x$ की नाभीय जीवा $PQ$ का एक सिरा है। दूसरे सिरे $Q$ के निर्देशांक $(\frac{1}{t^2}, \frac{-2}{t})$ हैं,जहाँ $tt' = -1$ है। दिया गया है कि जीवा $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $	heta$ कोण बनाती है,इसलिए जीवा की ढाल $	an 	heta$ है। $	an 	heta = \frac{\frac{-2}{t} - 2t}{\frac{1}{t^2} - t^2} = \frac{2t}{t^2-1}$. अतः,$t - \frac{1}{t} = 2 \cot 	heta$। नाभीय जीवा $PQ$ की लंबाई $a(t + \frac{1}{t})^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a=1$ है। $PQ = (t + \frac{1}{t})^2 = (t - \frac{1}{t})^2 + 4$। $t - \frac{1}{t} = 2 \cot 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर: $PQ = (2 \cot 	heta)^2 + 4 = 4 \cot^2 	heta + 4 = 4(\cot^2 	heta + 1) = 4 \operatorname{cosec}^2 	heta$।

यदि परवलय $y^2=4x$ की एक जीवा उसके नाभि से होकर गुजरती है और $X$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो उसकी लंबाई क्या है?

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