यदि एक वृत्त C जो बिंदु (4, 0) से होकर गुजरता | vedclass

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Question

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण: $x^2+y^2+4x-6y-12=0$ है।इस वृत्त का केंद्र $O_1 = (-2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4+9+12}

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$\sqrt{5}$

Vedclass · Answer

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण: $x^2+y^2+4x-6y-12=0$ है।इस वृत्त का केंद्र $O_1 = (-2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4+9+12} = 5$ है।अभीष्ट वृत्त $C$ का केंद्र $O_1(-2, 3)$ और स्पर्श बिंदु $P(1, -1)$ से गुजरने वाली रेखा पर स्थित है।रेखा $O_1P$ की ढाल $m = \frac{-1-3}{1-(-2)} = \frac{-4}{3}$ है।बिंदु $P(1, -1)$ पर अभिलंब की ढाल $m' = \frac{-1}{-4/3} = \frac{3}{4}$ होगी।इस अभिलंब का समीकरण $y+1 = \frac{3}{4}(x-1) \Rightarrow 3x-4y-7=0$ है।माना वृत्त $C$ का केंद्र $(h, k)$ है,जो इस रेखा पर स्थित है,अतः $3h-4k=7$ है।साथ ही,$(h, k)$ से $P(1, -1)$ की दूरी $R$ है और $(h, k)$ से $(4, 0)$ की दूरी भी $R$ है। अतः,$(h-1)^2 + (k+1)^2 = (h-4)^2 + k^2$ है।इसे सरल करने पर: $h^2-2h+1 + k^2+2k+1 = h^2-8h+16 + k^2$ प्राप्त होता है।जिससे $6h+2k=14 \Rightarrow 3h+k=7$ मिलता है।समीकरणों $3h-4k=7$ और $3h+k=7$ को हल करने पर $5k=0 \Rightarrow k=0$ और $h=7/3$ प्राप्त होता है।अतः त्रिज्या $R = \sqrt{(7/3-1)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{(4/3)^2 + 1^2} = \sqrt{16/9 + 1} = 5/3$ है।

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