यदि एक वक्र y = f(x) बिंदु (1, -1) से गुजरता | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1 + xy)dx = xdy$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $ydx + xy^2 dx = xdy$.$xy^2 dx = xdy - ydx$.दोनों पक्षों को $y^2$ से विभ

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$\frac{4}{5}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1 + xy)dx = xdy$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $ydx + xy^2 dx = xdy$.$xy^2 dx = xdy - ydx$.दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर ($y 
eq 0$ मानकर): $x dx = \frac{xdy - ydx}{y^2}$.हम जानते हैं कि $d\left(\frac{x}{y}ight) = \frac{ydx - xdy}{y^2}$, इसलिए $\frac{xdy - ydx}{y^2} = -d\left(\frac{x}{y}ight)$.इससे प्राप्त होता है: $x dx = -d\left(\frac{x}{y}ight)$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{x^2}{2} = -\frac{x}{y} + C$.चूंकि वक्र $(1, -1)$ से गुजरता है, $x=1, y=-1$ रखने पर: $\frac{1^2}{2} = -\frac{1}{-1} + C$.$\frac{1}{2} = 1 + C \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$.अतः, $\frac{x^2}{2} = -\frac{x}{y} - \frac{1}{2} \Rightarrow x^2 + 1 = -\frac{2x}{y} \Rightarrow y = -\frac{2x}{x^2 + 1}$.अब, $f\left(-\frac{1}{2}ight)$ ज्ञात करने पर: $f\left(-\frac{1}{2}ight) = -\frac{2\left(-\frac{1}{2}ight)}{\left(-\frac{1}{2}ight)^2 + 1} = -\frac{-1}{\frac{1}{4} + 1} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$.

यदि एक वक्र $y = f(x)$ बिंदु $(1, -1)$ से गुजरता है और अवकल समीकरण $y(1 + xy)dx = xdy$ को संतुष्ट करता है,तो $f(-\frac{1}{2}) = $ . . . . .

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