જો વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=x^3-x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f$ એ

નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધેય ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ (transcendental) છે?

સાબિત કરો કે સિગ્નમ વિધેય $f: R \rightarrow R$,જે $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{જો } x > 0 \\ 0, & \text{જો } x = 0 \\ -1, & \text{જો } x < 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક-એક (one-one) પણ નથી અને વ્યાપ્ત (onto) પણ નથી.

સાબિત કરો કે $f(x) = \frac{1}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f: R_* \rightarrow R_*$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,જ્યાં $R_*$ એ તમામ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. જો પ્રદેશ $R_*$ ને $N$ દ્વારા બદલવામાં આવે અને સહ-પ્રદેશ $R_*$ સમાન રહે,તો શું આ પરિણામ સાચું છે?

ધારો કે $f :(0,1) \rightarrow R$ એ $f(x)=\frac{1}{1-e^{-x}}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે,અને $g(x)=(f(-x)-f(x))$. બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(I)$ $g$ એ $(0,1)$ માં વધતું વિધેય છે
$(II)$ $g$ એ $(0,1)$ માં એક-એક વિધેય છે
તો,

વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ પર નીચેનામાંથી કયું વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijective) છે?