સાબિત કરો કે $f(x) = \frac{1}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f: R_* \rightarrow R_*$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,જ્યાં $R_*$ એ તમામ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. જો પ્રદેશ $R_*$ ને $N$ દ્વારા બદલવામાં આવે અને સહ-પ્રદેશ $R_*$ સમાન રહે,તો શું આ પરિણામ સાચું છે?

(N/A) આપેલ છે કે $f: R_* \rightarrow R_*$ એ $f(x) = \frac{1}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક માટે:
ધારો કે $x, y \in R_*$ માટે $f(x) = f(y)$.
$\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{y}$
$\Rightarrow x = y$.
તેથી,$f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત માટે:
કોઈપણ $y \in R_*$ માટે,$x = \frac{1}{y} \in R_*$ (કારણ કે $y \neq 0$) અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f(x) = \frac{1}{(1/y)} = y$.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.
હવે,$g: N \rightarrow R_*$ વિધેય ધ્યાનમાં લો જ્યાં $g(x) = \frac{1}{x}$.
એક-એક માટે:
$g(x_1) = g(x_2) \Rightarrow \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \Rightarrow x_1 = x_2$.
તેથી,$g$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત માટે:
$g$ વ્યાપ્ત નથી કારણ કે $y = 1.2 \in R_*$ માટે,$N$ માં એવો કોઈ $x$ નથી કે જેથી $g(x) = \frac{1}{x} = 1.2$ થાય (કારણ કે $x = \frac{1}{1.2} = \frac{5}{6} \notin N$).
તેથી,$g$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.