सिद्ध कीजिए कि $f(x) = \frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R_* \rightarrow R_*$ एकैकी और आच्छादक है,जहाँ $R_*$ सभी शून्येतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत $R_*$ को $N$ से बदल दिया जाए और सह-प्रांत $R_*$ ही रहे,तो क्या यह परिणाम सत्य है?

(N/A) दिया गया है कि $f: R_* \rightarrow R_*$,$f(x) = \frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित है।
एकैकी के लिए:
माना $x, y \in R_*$ इस प्रकार हैं कि $f(x) = f(y)$.
$\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{y}$
$\Rightarrow x = y$.
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक के लिए:
किसी भी $y \in R_*$ के लिए,$x = \frac{1}{y} \in R_*$ (क्योंकि $y \neq 0$) का अस्तित्व है ताकि $f(x) = \frac{1}{(1/y)} = y$.
अतः,$f$ आच्छादक है।
इस प्रकार,$f$ एकैकी और आच्छादक है।
अब,$g: N \rightarrow R_*$ पर विचार करें जहाँ $g(x) = \frac{1}{x}$ है।
एकैकी के लिए:
$g(x_1) = g(x_2) \Rightarrow \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \Rightarrow x_1 = x_2$.
अतः,$g$ एकैकी है।
आच्छादक के लिए:
$g$ आच्छादक नहीं है क्योंकि $y = 1.2 \in R_*$ के लिए,$N$ में ऐसा कोई $x$ नहीं है कि $g(x) = \frac{1}{x} = 1.2$ हो (क्योंकि $x = \frac{1}{1.2} = \frac{5}{6} \notin N$)।
अतः,$g$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।