f(x) = e^x + e^{-x} द्वारा परिभाषित फलन f: R | vedclass

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Question

(D) चरण $1$: एकैकी (one-one) गुण की जाँच करें। $f(x) = e^x + e^{-x}$। चूँकि $f(-x) = e^{-x} + e^{-(-x)} = e^{-x} + e^x = f(x)$, इसलिए यह एक सम फलन है।

Vedclass · Accepted Answer

एकैकी आच्छादक नहीं (not bijective)

Vedclass · Answer

(D) चरण $1$: एकैकी (one-one) गुण की जाँच करें। $f(x) = e^x + e^{-x}$। चूँकि $f(-x) = e^{-x} + e^{-(-x)} = e^{-x} + e^x = f(x)$, इसलिए यह एक सम फलन है। एक सम फलन के लिए, $f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ यह नहीं है कि $x_1 = x_2$ (उदाहरण के लिए, $f(1) = f(-1)$)। अतः, फलन एकैकी नहीं है। चरण $2$: आच्छादक (onto) गुण की जाँच करें। हम जानते हैं कि सभी $x \in R$ के लिए $e^x > 0$ होता है। समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका के अनुसार, $\frac{e^x + e^{-x}}{2} \geq \sqrt{e^x \cdot e^{-x}} = 1$, जिसका अर्थ है $e^x + e^{-x} \geq 2$। इस प्रकार, $f(x)$ का परिसर $[2, \infty)$ है। चूँकि सह-प्रांत $R$ है और परिसर $[2, \infty)$ है, इसलिए परिसर $
eq$ सह-प्रांत। अतः, फलन आच्छादक नहीं है। निष्कर्ष: चूँकि फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक, इसलिए यह एकैकी आच्छादक (bijective) नहीं है।

$f(x) = e^x + e^{-x}$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R \rightarrow R$ है

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