एक फलन f: R rightarrow R जो f(x) = begin{case | vedclass

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Question

(B) फलन $f(x)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए, हम इसे दो अंतरालों में विश्लेषित करते हैं।$x \leq \frac{4}{3}$ के लिए, $f(x) = 2x+3$। यह एक निरंतर वर

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आच्छादक नहीं है

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(B) फलन $f(x)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए, हम इसे दो अंतरालों में विश्लेषित करते हैं।$x \leq \frac{4}{3}$ के लिए, $f(x) = 2x+3$। यह एक निरंतर वर्धमान रैखिक फलन है। इस भाग का परिसर $(-\infty, 2(\frac{4}{3})+3] = (-\infty, \frac{17}{3}]$ है।$x > \frac{4}{3}$ के लिए, $f(x) = -3x^2+8x$। यह नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-3)} = \frac{4}{3}$ पर है। चूंकि अंतराल $x > \frac{4}{3}$ है, इसलिए फलन इस डोमेन में निरंतर ह्रासमान है। $x = \frac{4}{3}$ पर मान $-3(\frac{16}{9}) + 8(\frac{4}{3}) = -\frac{16}{3} + \frac{32}{3} = \frac{16}{3}$ है। जैसे-जैसे $x \rightarrow \infty$ होता है, $f(x) \rightarrow -\infty$ होता है। अतः, इस भाग का परिसर $(-\infty, \frac{16}{3})$ है।इन दोनों को मिलाने पर, फलन एकैकी नहीं है क्योंकि मान $\frac{16}{3}$, $x = \frac{4}{3}$ पर और किसी $x > \frac{4}{3}$ के लिए भी प्राप्त होता है।चूंकि परिसर $(-\infty, \frac{17}{3}]$ है, जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है, इसलिए फलन आच्छादक (onto) नहीं है। अतः, यह एकैकी आच्छादक भी नहीं है। सही उत्तर यह है कि यह आच्छादक नहीं है।

एक फलन $f: R \rightarrow R$ जो $f(x) = \begin{cases} 2x+3, & x \leq \frac{4}{3} \\ -3x^2+8x, & x > \frac{4}{3} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है, वह है

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यदि $f: R \to R$ एक सतत फलन है,इस प्रकार कि सभी $x, y \in R$ के लिए $|f(x) - f(y)| \geqslant |e^x - e^y|$ है,तो $f(x)$ है:

फलन $f: \{1, 2, 3, 4\} \to \{a, b, c\}$ की संख्या, जो आच्छादक (onto) नहीं हैं, है:

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$f: Z \rightarrow Z$ द्वारा परिभाषित फलन $f(x) = x^{3}$ की एकैकी (injectivity) और आच्छादक (surjectivity) की जाँच कीजिए।

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