જો $4$ ઘાતવાળી બહુપદી $P(x) = 2x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે $P(1) = 4, P(2) = 7, P(3) = 12$ અને $P(4) = 19$ હોય,તો $P(5)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $p$ અને $q$ બે એવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે જેથી $p+q=3$ અને $p^{4}+q^{4}=369$ થાય. તો $\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)^{-2}$ ની કિંમત શોધો.

$f(x)$ એક દ્વિઘાત પદાવલિ છે જેથી જ્યારે $x \in \left(-\infty, -\frac{5}{3}\right) \cup (3, \infty)$ હોય ત્યારે $f(x)$ ઋણ છે અને જ્યારે $x \in \left(-\frac{5}{3}, 3\right)$ હોય ત્યારે ધન છે. $g(x)$ બીજી એક દ્વિઘાત પદાવલિ છે જેથી જ્યારે $x \in \left(3, \frac{9}{2}\right)$ હોય ત્યારે $g(x)$ ઋણ છે અને જ્યારે $x \in \mathbb{R} - \left[3, \frac{9}{2}\right]$ હોય ત્યારે ધન છે. તો,$[0, 5]$ માં $f(x)g(x)$ ની નિશાની શું હશે?

જો $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right)$ હોય,તો $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ ની કિંમત શોધો.

જો તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $\left|\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1}\right| < 3$ હોય,તો $k$ એ કયા અંતરાલમાં છે?

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો: કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,
$I.$ $n^2+3$ એ ક્યારેય $17$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$II.$ $n^2+4$ એ ક્યારેય $17$ વડે વિભાજ્ય નથી.
તો,