यदि एक समुच्चय $A$ में $5$ अवयव हैं,तो $A$ से दो उपसमुच्चय $P$ और $Q$ को इस प्रकार चुनने के तरीकों की संख्या क्या है कि $P$ और $Q$ परस्पर असंयुक्त (mutually disjoint) हों?

मान लीजिए $S = \{(m, n): m, n \in \{1, 2, 3, \ldots, 50\}\}$ है। यदि $S$ में उन अवयवों $(m, n)$ की संख्या, जिनके लिए $6^{m} + 9^{n}$, $5$ का गुणज है, $p$ है और $S$ में उन अवयवों $(m, n)$ की संख्या, जिनके लिए $m + n$ एक अभाज्य संख्या का वर्ग है, $q$ है, तो $p + q$ का मान ज्ञात कीजिए:

एक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$[x]$ $x$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। तो $\left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{2} + \frac{1}{100}\right] + \left[\frac{1}{2} + \frac{2}{100}\right] + \left[\frac{1}{2} + \frac{3}{100}\right] + \ldots + \left[\frac{1}{2} + \frac{99}{100}\right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक दो अंकों की संख्या $\overline{ab}$ को 'ऑलमोस्ट प्राइम' (almost prime) कहा जाता है यदि इसके अंकों $a$ या $b$ में से अधिकतम एक अंक को बदलकर एक दो अंकों की अभाज्य संख्या प्राप्त की जा सके। (उदाहरण के लिए,$18$ एक ऑलमोस्ट प्राइम संख्या है क्योंकि $13$ एक अभाज्य संख्या है)। तो ऑलमोस्ट प्राइम दो अंकों की संख्याओं की कुल संख्या है:

एक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है। $\left[ \frac{1}{2} \right] + \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{100} \right] + \left[ \frac{1}{2} + \frac{2}{100} \right] + \dots + \left[ \frac{1}{2} + \frac{99}{100} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A, B, C$ तीन समुच्चय इस प्रकार हैं कि $A \cup B = A \cup C$ और $A \cap B = A \cap C$,तो