मान लीजिए $S = \{(m, n): m, n \in \{1, 2, 3, \ldots, 50\}\}$ है। यदि $S$ में उन अवयवों $(m, n)$ की संख्या, जिनके लिए $6^{m} + 9^{n}$, $5$ का गुणज है, $p$ है और $S$ में उन अवयवों $(m, n)$ की संख्या, जिनके लिए $m + n$ एक अभाज्य संख्या का वर्ग है, $q$ है, तो $p + q$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $U$ समष्टीय समुच्चय है तथा $A \cup B \cup C = U$, तब ${(A - B) \cup (B - C) \cup (C - A)}'$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $A$ और $B$ परिमित समुच्चय हैं और $P_A$ तथा $P_B$ क्रमशः उनके घात समुच्चय (power sets) को दर्शाते हैं। यदि $P_B$ में $P_A$ की तुलना में $112$ अवयव अधिक हैं,तो $A$ से $B$ तक के एकैकी (injective) फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $x_k$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $1 \leq k \leq 2018$ के लिए $x_k \geq k^4+k^2+1$ है। $N=\sum_{k=1}^{2018} k$ को निरूपित करें। निम्नलिखित असमानताओं पर विचार करें।
$I$. $\left(\sum_{k=1}^{2018} k x_k\right)^2 \leq N\left(\sum_{k=1}^{2018} k x_k^2\right)$
$II$. $\left(\sum_{k=1}^{2018} k x_k\right)^2 \leq N\left(\sum_{k=1}^{2018} k^2 x_k^2\right)$
तो,

यदि एक समुच्चय $A$ में $5$ अवयव हैं,तो $A$ से दो उपसमुच्चय $P$ और $Q$ को इस प्रकार चुनने के तरीकों की संख्या क्या है कि $P$ और $Q$ परस्पर असंयुक्त (mutually disjoint) हों?

यदि $A=\{x \in R: \sqrt{x^2-8x+15} \in R\}$ और $B=\{x \in R: \frac{x-3}{2x-5} < \frac{x-6}{2x-11}\}$, तो $A \cap B=$