यदि दीर्घवृत्त frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}= | vedclass

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Question

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है। रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा होने के लिए $c^2=a^2m^2+b^2$ होता है। ढाल

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$5$

Vedclass · Answer

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है। रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा होने के लिए $c^2=a^2m^2+b^2$ होता है। ढाल $m=2$ दी गई है,अतः स्पर्श रेखा का समीकरण $y=2x \pm \sqrt{4a^2+b^2}$ है,जिसे $2x-y \pm \sqrt{4a^2+b^2}=0$ लिखा जा सकता है। चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2+y^2=4$ (त्रिज्या $r=2$,केंद्र $(0,0)$) को स्पर्श करती है,मूल बिंदु से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होगी: $\frac{|\pm \sqrt{4a^2+b^2}|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = 2$. $\frac{\sqrt{4a^2+b^2}}{\sqrt{5}} = 2$ $\Rightarrow \sqrt{4a^2+b^2} = 2\sqrt{5}$ $\Rightarrow 4a^2+b^2 = 20$. $AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर: $\frac{4a^2+b^2}{2} \geq \sqrt{4a^2b^2} = 2ab$. $\frac{20}{2} \geq 2ab$ $\Rightarrow 10 \geq 2ab$ $\Rightarrow ab \leq 5$. अतः,$ab$ का अधिकतम मान $5$ है।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की $2$ ढाल वाली स्पर्श रेखा वृत्त $x^2+y^2=4$ को स्पर्श करती है,तो $ab$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

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