$COMBINATION$ શબ્દના તમામ અક્ષરોને $11$ અક્ષરના શબ્દો બનાવવા માટે તમામ શક્ય રીતે ગોઠવવામાં આવે છે,તો તેમાંથી એવા કેટલા શબ્દો છે જેમાં $C$ અને $N$ અંતિમ સ્થાનો પર હોય અને કોઈ પણ સ્વર બરાબર મધ્યમાં ન આવે?

$5$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓ એક હરોળમાં એવી રીતે બેસી શકે કે જેથી કાં તો બધા છોકરાઓ સાથે બેસે અથવા કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે,તે રીતે બેસવાની કુલ રીતો કેટલી છે $......$

$3, 5, 6, 7,$ અને $8$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $6000$ થી મોટી કેટલી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ બનાવી શકાય?

$ANIMAL$ શબ્દના તમામ અક્ષરોને તમામ શક્ય રીતે ગોઠવવામાં આવે છે અને આ રીતે બનેલા ક્રમચયોને શબ્દકોશના ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે. જો $ANIMAL$ શબ્દનો ક્રમ $x$ હોય,તો $PERSON$ શબ્દના અક્ષરોને ગોઠવીને મેળવેલા ક્રમચયોને શબ્દકોશના ક્રમમાં ગોઠવતા,$x$ ક્રમ ધરાવતો ક્રમચય કયો છે?

$\sum\limits_{r = 0}^{15} {\left( {{}^{15}{C_r} \cdot {}^{40}{C_{15}} \cdot {}^{20}{C_r} - {}^{35}{C_{15}} \cdot {}^{15}{C_r} \cdot {}^{25}{C_r}} \right)}$ ની કિંમત શોધો.

${}^{47}C_4 + \sum_{j=1}^5 {}^{(52-j)}C_3$ ની કિંમત શોધો.