$5$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓ એક હરોળમાં એવી રીતે બેસી શકે કે જેથી કાં તો બધા છોકરાઓ સાથે બેસે અથવા કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે,તે રીતે બેસવાની કુલ રીતો કેટલી છે $......$

જો $MATHEMATICS$ શબ્દના અક્ષરોના તમામ શક્ય ક્રમચયોની સંખ્યા જેમાં પુનરાવર્તિત અક્ષરો સાથે ન હોય તે $90(X)$ હોય,તો $X=$

અંકો $\{1, 2, 3, 5, 6, 8\}$ નો ઉપયોગ કરીને $5$ ભિન્ન અંકો ધરાવતી તમામ શક્ય $5$-અંકી સંખ્યાઓ બનાવવામાં આવે છે. તેમાંથી,$3$ વડે વિભાજ્ય હોય પરંતુ $6$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓની સંખ્યા કેટલી છે?

$FARMER$ શબ્દની તમામ ગોઠવણીઓ,અર્થ સાથે અથવા વગર,લખવામાં આવે છે,જેમાં બે $R$ સાથે આવતા હોય તેવા શબ્દોને બાકાત રાખવામાં આવે છે. આ ગોઠવણીઓને અંગ્રેજી શબ્દકોશ મુજબ મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં સૂચિબદ્ધ કરવામાં આવે છે. તો આ સૂચિમાં $FARMER$ શબ્દનો ક્રમ નંબર .... છે.

List-$I$ ની વસ્તુઓને List-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો:

	List-$I$		List-$II$
$(A)$	$n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $(n-r)$ વસ્તુઓ પસંદ ન કરવાની રીતોની સંખ્યા	$(I)$	$1+n+{ }^n C_2+\ldots+{ }^n C_r$
$(B)$	$(n-r+1) \cdot{ }^n C_{r-1}$	$(II)$	$(r+1) \cdot{ }^n C_{r+1}$
$(C)$	$n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી ઓછામાં ઓછી $(n-r)$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા	$(III)$	$r\left({ }^n C_r\right)$
$(D)$	$(n-r)\left({ }^{n-1} C_{r-1}+{ }^{n-1} C_r\right)$	$(IV)$	$2^n-1-n-{ }^n C_2-\ldots-{ }^n C_r$
		$(V)$	${ }^n C_{n-r}$

સાચી જોડ છે:

એક હાઈસ્કૂલમાં,$6$ છોકરાઓ $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6$ અને $5$ છોકરીઓ $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ ના જૂથમાંથી એક સમિતિ બનાવવાની છે.
$(i)$ ધારો કે $\alpha_1$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં $5$ સભ્યો હોય,જેમાં બરાબર $3$ છોકરાઓ અને $2$ છોકરીઓ હોય.
$(ii)$ ધારો કે $\alpha_2$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં ઓછામાં ઓછા $2$ સભ્યો હોય,અને છોકરાઓ અને છોકરીઓની સંખ્યા સમાન હોય.
$(iii)$ ધારો કે $\alpha_3$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં $5$ સભ્યો હોય,જેમાં ઓછામાં ઓછી $2$ છોકરીઓ હોય.
$(iv)$ ધારો કે $\alpha_4$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં $4$ સભ્યો હોય,જેમાં ઓછામાં ઓછી $2$ છોકરીઓ હોય અને $M_1$ અને $G_1$ બંને એકસાથે સમિતિમાં ન હોય.

$LIST-I$	$LIST-II$
$P$. $\alpha_1$ નું મૂલ્ય	$1. 136$
$Q$. $\alpha_2$ નું મૂલ્ય	$2. 189$
$R$. $\alpha_3$ નું મૂલ્ય	$3. 192$
$S$. $\alpha_4$ નું મૂલ્ય	$4. 200$
	$5. 381$
	$6. 461$

સાચો વિકલ્પ છે: