$5$ लड़कों और $4$ लड़कियों के एक पंक्ति में बैठने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि या तो सभी लड़के एक साथ बैठें या कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें $......$

$0$ से $9$ तक के अंकों का उपयोग करके और अंकों को दोहराए बिना $9$ से विभाज्य आठ अंकों की एक संख्या बनानी है। इसे कितने तरीकों से किया जा सकता है ($(7!)$ में)?

$1000$ और $3000$ के बीच ऐसी संख्याएँ बनानी हैं,जो $4$ से विभाज्य हों,जिसमें अंकों $1, 2, 3, 4, 5$ और $6$ का उपयोग बिना दोहराव के किया गया हो। तो ऐसी कुल संख्याएँ कितनी हैं?

$4$ अलग-अलग वस्तुओं को $6$ व्यक्तियों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि किसी भी व्यक्ति को सभी वस्तुएं न मिलें।

मान लीजिए $S$ उन सभी पासवर्डों का सेट है जो $6$ से $8$ अक्षर लंबे हैं,जहाँ प्रत्येक अक्षर या तो $\{A, B, C, D, E\}$ से एक वर्णमाला है या $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ से एक संख्या है,जिसमें अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति है। यदि $S$ में उन पासवर्डों की संख्या जिनमें कम से कम एक अक्षर $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ से एक संख्या है,$\alpha \times 5^{6}$ है,तो $\alpha$ का मान $.......$ है।

जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,तो $1, 2, 3, 4$ अंकों से कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?