$3, 5, 6, 7,$ અને $8$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $6000$ થી મોટી કેટલી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ બનાવી શકાય?

અંકો $\{1, 2, 3, 5, 6, 8\}$ નો ઉપયોગ કરીને $5$ ભિન્ન અંકો ધરાવતી તમામ શક્ય $5$-અંકી સંખ્યાઓ બનાવવામાં આવે છે. તેમાંથી,$3$ વડે વિભાજ્ય હોય પરંતુ $6$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓની સંખ્યા કેટલી છે?

એક ટ્રેન રૂટ પર $15$ સ્ટેશન છે અને ટ્રેનને આ $15$ સ્ટેશનમાંથી બરાબર $5$ સ્ટેશન પર રોકવાની છે. જો તે ઓછામાં ઓછા બે ક્રમિક સ્ટેશન પર રોકાય,તો ટ્રેન કેટલી રીતે રોકી શકાય?

ધારો કે ${}^nC_{r-1}=28$,${}^nC_r=56$,અને ${}^nC_{r+1}=70$. ધારો કે $A(4 \cos t, 4 \sin t)$,$B(2 \sin t, -2 \cos t)$,અને $C(3r - n, r^2 - n - 1)$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે,જ્યાં $t$ એક પ્રાચલ છે. જો $(3x - 1)^2 + (3y)^2 = \alpha$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો:

વિદ્યાર્થીઓ $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{10}$ ને $3$ જૂથો $A, B$ અને $C$ માં એવી રીતે વહેંચવાના છે કે જેથી દરેક જૂથમાં ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી હોય અને જૂથ $C$ માં વધુમાં વધુ $3$ વિદ્યાર્થીઓ હોય. તો આવા જૂથો બનાવવાની કુલ શક્યતાઓની સંખ્યા ........ છે.

$20$ અલગ-અલગ નારંગીને $3$ બાળકોમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી દરેક બાળકને ઓછામાં ઓછી એક નારંગી મળે $............$.