જો એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $ABC$, જેમાં $AB = AC = 6\, cm$ હોય, તેને $9\, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત કરવામાં આવે, તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $cm^{2}$ માં શોધો.

જો એક વર્તુળ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુ $BC$ ને $P$ બિંદુએ સ્પર્શે છે અને લંબાવેલી બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ને અનુક્રમે $Q$ અને $R$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તો સાબિત કરો કે $AQ = \frac{1}{2}(BC + CA + AB)$.

આકૃતિમાં,$\stackrel{\leftrightarrow}{ AB }$,$\stackrel{\leftrightarrow}{ AC }$ અને $\stackrel{\leftrightarrow}{ PQ }$ એ $\odot( O , r)$ ને સ્પર્શકો છે. જો $\Delta APQ$ ની પરિમિતિ $16$ હોય,તો $AB = \ldots$

આકૃતિમાં,બહારના બિંદુ $P$ માંથી,કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળ પર સ્પર્શક $PT$ અને રેખાખંડ $PAB$ દોરવામાં આવ્યા છે. $ON$ એ જીવા $AB$ ને લંબ છે. સાબિત કરો કે:
$(i) \quad PA \cdot PB = PN^2 - AN^2$
$(ii) \quad PN^2 - AN^2 = OP^2 - OT^2$
$(iii) \quad PA \cdot PB = PT^2$

સાબિત કરો કે વર્તુળના ચાપના મધ્યબિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક,ચાપના અંત્યબિંદુઓને જોડતી જીવાને સમાંતર હોય છે.

$5 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના વ્યાસ $AB$ ના એક અંત્યબિંદુ $A$ આગળ સ્પર્શક $XY$ દોરવામાં આવ્યો છે. $XY$ ને સમાંતર અને $A$ થી $8 \, cm$ અંતરે આવેલી જીવા $CD$ ની લંબાઈ ($cm$ માં) શોધો: