આકૃતિમાં,બહારના બિંદુ $P$ માંથી,કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળ પર સ્પર્શક $PT$ અને રેખાખંડ $PAB$ દોરવામાં આવ્યા છે. $ON$ એ જીવા $AB$ ને લંબ છે. સાબિત કરો કે:
$(i) \quad PA \cdot PB = PN^2 - AN^2$
$(ii) \quad PN^2 - AN^2 = OP^2 - OT^2$
$(iii) \quad PA \cdot PB = PT^2$

(N/A) $(i)$ આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે. $ON \perp AB$ હોવાથી,$AN = BN$ થાય.
હવે,$PA \cdot PB = (PN - AN)(PN + BN)$.
$AN = BN$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$PA \cdot PB = (PN - AN)(PN + AN) = PN^2 - AN^2$.
$(ii)$ કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ONP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^2 = ON^2 + PN^2 \implies PN^2 = OP^2 - ON^2$.
આ કિંમતને $PN^2 - AN^2$ માં મૂકતા:
$PN^2 - AN^2 = (OP^2 - ON^2) - AN^2 = OP^2 - (ON^2 + AN^2)$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ONA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$ON^2 + AN^2 = OA^2$.
તેથી,$PN^2 - AN^2 = OP^2 - OA^2$.
$OA$ અને $OT$ બંને એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યા હોવાથી,$OA = OT$.
તેથી,$PN^2 - AN^2 = OP^2 - OT^2$.
$(iii)$ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણી પાસે $PA \cdot PB = OP^2 - OT^2$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OTP$ માં (જ્યાં $\angle OTP = 90^{\circ}$ કારણ કે સ્પર્શક સ્પર્શબિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે),પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^2 = OT^2 + PT^2 \implies OP^2 - OT^2 = PT^2$.
આમ,$PA \cdot PB = PT^2$.