यदि a 0 के लिए,बिंदुओं A(a, -2a, 3) और B(0, | vedclass

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Question

(D) चूंकि $C(0, -a, -1)$ समतल $lx + my + nz = 0$ पर स्थित है,इसलिए $l(0) + m(-a) + n(-1) = 0,$ जिसका अर्थ है $-ma - n = 0,$ या $\frac{m}{n} = -\frac{1

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$\sqrt{66}$

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(D) चूंकि $C(0, -a, -1)$ समतल $lx + my + nz = 0$ पर स्थित है,इसलिए $l(0) + m(-a) + n(-1) = 0,$ जिसका अर्थ है $-ma - n = 0,$ या $\frac{m}{n} = -\frac{1}{a} \quad \dots(1)$सदिश $\vec{CA} = (a - 0, -2a - (-a), 3 - (-1)) = (a, -a, 4)$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (l, m, n)$ के समांतर है।अतः,$\frac{a}{l} = \frac{-a}{m} = \frac{4}{n}.$ $\frac{-a}{m} = \frac{4}{n}$ से,हमें $\frac{m}{n} = -\frac{a}{4} \quad \dots(2)$ प्राप्त होता है।$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,$-\frac{1}{a} = -\frac{a}{4} \Rightarrow a^2 = 4.$ चूंकि $a > 0,$ इसलिए $a = 2$ है।$a = 2$ को $(1)$ में रखने पर,$\frac{m}{n} = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $m = -t$ और $n = 2t.$ तब $\frac{2}{l} = \frac{-2}{-t} \Rightarrow l = t.$समतल का समीकरण $t(x - y + 2z) = 0,$ या $x - y + 2z = 0$ है।बिंदु $D,$ बिंदु $B(0, 4, 5)$ से समतल $x - y + 2z = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है। रेखा $BD$ का समीकरण $\frac{x-0}{1} = \frac{y-4}{-1} = \frac{z-5}{2} = k$ है।अतः,$D = (k, 4-k, 5+2k).$ चूंकि $D$ समतल पर स्थित है,$k - (4-k) + 2(5+2k) = 0 \Rightarrow k - 4 + k + 10 + 4k = 0 \Rightarrow 6k + 6 = 0 \Rightarrow k = -1.$इस प्रकार,$D = (-1, 4-(-1), 5+2(-1)) = (-1, 5, 3).$$C = (0, -2, -1)$ और $D = (-1, 5, 3)$ के साथ,$CD$ की लंबाई $= \sqrt{(-1-0)^2 + (5-(-2))^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 7^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 49 + 16} = \sqrt{66}.$

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$x + y + z = 1$ और $2x + 3y - z + 4 = 0$ समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और $x$-अक्ष के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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