यदि बिंदु A(-1, 4, 3) से समतल P: 2x + my + nz | vedclass

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Question

(B) दिया गया समतल $P: 2x + my + nz = 4$ है और बिंदु $A(-1, 4, 3)$ से लंब का पाद $B\left(-2, \frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right)$ है।चूँकि $B$ समतल पर स्थि

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$\sqrt{26}$

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(B) दिया गया समतल $P: 2x + my + nz = 4$ है और बिंदु $A(-1, 4, 3)$ से लंब का पाद $B\left(-2, \frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right)$ है।चूँकि $B$ समतल पर स्थित है,इसलिए $2(-2) + m(\frac{7}{2}) + n(\frac{3}{2}) = 4$,जो सरल होकर $7m + 3n = 16$ देता है। $(1)$साथ ही,सदिश $\vec{AB} = B - A = (-2 - (-1), \frac{7}{2} - 4, \frac{3}{2} - 3) = (-1, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ है।समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, m, n)$ है। चूँकि $\vec{AB}$,$\vec{n}$ के समांतर है,इसलिए $\frac{2}{-1} = \frac{m}{-1/2} = \frac{n}{-3/2} = k$ है।अतः,$k = -2$,जिससे $m = (-1/2)(-2) = 1$ और $n = (-3/2)(-2) = 3$ प्राप्त होता है।हमें बिंदु $A$ की समतल $P$ से $3, -1, -4$ दिक-अनुपात वाली रेखा के समांतर दूरी ज्ञात करनी है। मान लीजिए यह रेखा $L$ है। बिंदु $A(-1, 4, 3)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x+1}{3} = \frac{y-4}{-1} = \frac{z-3}{-4} = \lambda$ है।इस रेखा पर कोई भी बिंदु $C$,$(3\lambda - 1, -\lambda + 4, -4\lambda + 3)$ है।चूँकि $C$ समतल $2x + y + 3z = 4$ पर स्थित है,हम $C$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:$2(3\lambda - 1) + 1(-\lambda + 4) + 3(-4\lambda + 3) = 4$$6\lambda - 2 - \lambda + 4 - 12\lambda + 9 = 4$$-7\lambda + 11 = 4 \Rightarrow -7\lambda = -7 \Rightarrow \lambda = 1$।अतः,बिंदु $C$,$(3(1) - 1, -1 + 4, -4(1) + 3) = (2, 3, -1)$ है।दूरी $AC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 4)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$।

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