रेखा frac{x-1}{2} = frac{y+1}{-1} = frac{z-3} | vedclass

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Question

(C) रेखा बिंदु $P(1, -1, 3)$ से गुजरती है और इसके दिशा अनुपात $\vec{v} = (2, -1, 4)$ हैं।बिंदु $(1, -1, 3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-1) + b(

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$a = 9, b = -2, c = -5$

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(C) रेखा बिंदु $P(1, -1, 3)$ से गुजरती है और इसके दिशा अनुपात $\vec{v} = (2, -1, 4)$ हैं।बिंदु $(1, -1, 3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-1) + b(y+1) + c(z-3) = 0$ है।चूंकि यह समतल रेखा को समाहित करता है,इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = (2, -1, 4)$ के लंबवत होना चाहिए। अतः,$2a - b + 4c = 0$ है।चूंकि समतल $x+2y+z=12$ के लंबवत है,इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ दिए गए समतल के अभिलंब $\vec{n_1} = (1, 2, 1)$ के लंबवत होना चाहिए। अतः,$a + 2b + c = 0$ है।समीकरणों को हल करने पर:$2a - b + 4c = 0$$a + 2b + c = 0$अभिलंब सदिश $\vec{n}$ ज्ञात करने के लिए $(2, -1, 4)$ और $(1, 2, 1)$ का क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & -1 & 4 \ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1-8) - \hat{j}(2-4) + \hat{k}(4+1) = -9\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$।अतः,दिशा अनुपात $(-9, 2, 5)$ के समानुपाती हैं।समतल का समीकरण $-9(x-1) + 2(y+1) + 5(z-3) = 0$ है।$-9x + 9 + 2y + 2 + 5z - 15 = 0 \Rightarrow -9x + 2y + 5z - 4 = 0$।$-1$ से गुणा करने पर,हमें $9x - 2y - 5z + 4 = 0$ प्राप्त होता है।$ax+by+cz+4=0$ से तुलना करने पर,$a=9, b=-2, c=-5$ प्राप्त होता है।

रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-3}{4}$ से गुजरने वाले और समतल $x+2y+z=12$ के लंबवत समतल का समीकरण $ax+by+cz+4=0$ द्वारा दिया गया है,तो:

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बिंदु $(0, 7, -7)$ से गुजरने वाले और रेखा $\frac{x+1}{-3} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+2}{1}$ को समाहित करने वाले समतल का कार्तीय समीकरण है

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