यदि चार भिन्न बिंदु (2k, 3k), (2,0), (0,3), औ | vedclass

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Question

(C) बिंदु $(2,0)$, $(0,3)$, और $(0,0)$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं क्योंकि $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।चूंक

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$k = 1$

Vedclass · Answer

(C) बिंदु $(2,0)$, $(0,3)$, और $(0,0)$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं क्योंकि $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।चूंकि $(2,0)$ और $(0,3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा $(0,0)$ पर अंतरित कोण $90^{\circ}$ है, इसलिए यह रेखाखंड वृत्त का व्यास है।व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।$(2,0)$ और $(0,3)$ बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:$(x-2)(x-0) + (y-0)(y-3) = 0$$x^2 - 2x + y^2 - 3y = 0$$x^2 + y^2 - 2x - 3y = 0$चूंकि बिंदु $(2k, 3k)$ इस वृत्त पर स्थित है, इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:$(2k)^2 + (3k)^2 - 2(2k) - 3(3k) = 0$$4k^2 + 9k^2 - 4k - 9k = 0$$13k^2 - 13k = 0$$13k(k - 1) = 0$इससे $k = 0$ या $k = 1$ प्राप्त होता है।यदि $k = 0$ है, तो बिंदु $(2k, 3k)$ का मान $(0,0)$ हो जाएगा, जो दिए गए बिंदु $(0,0)$ से भिन्न नहीं है।अतः, चारों बिंदुओं के भिन्न होने के लिए $k = 1$ होना चाहिए।

यदि चार भिन्न बिंदु $(2k, 3k)$, $(2,0)$, $(0,3)$, और $(0,0)$ एक वृत्त पर स्थित हैं, तो:

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उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा $x-4y=1$ पर स्थित है और जो बिंदुओं $(3,7)$ और $(5,5)$ से होकर गुजरता है।

उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं $(2, 3)$ और $(4, 5)$ से होकर गुजरता है और जिसका केंद्र सरल रेखा $y - 4x + 3 = 0$ पर स्थित है।

यदि बिंदु $(2,0), (0,1), (4,5)$ और $(0, c)$ एक ही वृत्त पर स्थित हैं (concyclic),तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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