જો રેખા $x + \alpha y + \beta = 0$ એ વક્ર $4x^3 + 4y^3 = xy(xy + 16)$ ને બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ પર સ્પર્શતી હોય,જ્યાં $x_1 \neq x_2$,તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $\alpha, \beta \in R$).

જો સીધી રેખા $x + y = 1$ એ પરવલય $y^2 - y + x = 0$ ને સ્પર્શતી હોય,તો સ્પર્શબિંદુના યામ શોધો.

એક પરવલયની ધરી $y=x$ રેખા પર છે. તેના શિરોબિંદુ $A$ નું $(0,0)$ થી અંતર $\sqrt{2}$ છે અને તેના નાભિ $S$ નું $(0,0)$ થી અંતર $2\sqrt{2}$ છે. જો $A$ અને $S$ પ્રથમ ચરણમાં હોય,તો પરવલયનું પ્રાચલિત સ્વરૂપમાં સમીકરણ શું છે?

જો $y^2 = 2px$ પરવલયના નાભિ પર કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ પરવલયની નિયામિકાને સ્પર્શતું હોય,તો વર્તુળ અને પરવલયનું છેદબિંદુ કયું છે?

$P$ અને $Q$ એ પરવલય $y^2 = 8x$ પરના બે બિંદુઓ છે અને $S$ તેનું નાભિ છે. $PS$ અને $QS$ વક્રને ફરીથી અનુક્રમે $T$ અને $R$ માં મળે છે. જો $PQ$ એક નિશ્ચિત બિંદુ $(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય,તો $TR$ પણ એક નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય છે જેના યામ છે

ધારો કે $P$ અને $Q$ એ પરવલય $y^2=2x$ પરના ભિન્ન બિંદુઓ છે,જેથી $PQ$ વ્યાસ ધરાવતું વર્તુળ પરવલયના શિરોબિંદુ $O$ માંથી પસાર થાય છે. જો $P$ પ્રથમ ચરણમાં હોય અને ત્રિકોણ $\Delta OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $3\sqrt{2}$ હોય,તો નીચેનામાંથી $P$ ના યામ કયા છે?
$(A)$ $(4, 2\sqrt{2})$
$(B)$ $(9, 3\sqrt{2})$
$(C)$ $(\frac{1}{4}, \frac{1}{\sqrt{2}})$
$(D)$ $(1, \sqrt{2})$