જો n એ ધન પૂર્ણાંક હોય અને C_k = {^nC_k} હોય, | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{C_k}{C_{k - 1}} = \frac{n - k + 1}{k}$.આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:$\sum\limits_{k = 1}^n {k^3\left( {\frac{n - k + 1}{k}} \r

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n(n + 1)^2(n + 2)}{12}$

Vedclass · Answer

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{C_k}{C_{k - 1}} = \frac{n - k + 1}{k}$.આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:$\sum\limits_{k = 1}^n {k^3\left( {\frac{n - k + 1}{k}} \right)^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {k(n - k + 1)^2}$$= \sum\limits_{k = 1}^n {k((n + 1) - k)^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {k((n + 1)^2 - 2k(n + 1) + k^2)}$$= (n + 1)^2 \sum\limits_{k = 1}^n k - 2(n + 1) \sum\limits_{k = 1}^n k^2 + \sum\limits_{k = 1}^n k^3$$= (n + 1)^2 \frac{n(n + 1)}{2} - 2(n + 1) \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n^2(n + 1)^2}{4}$$= \frac{n(n + 1)^2}{2} \left[ (n + 1) - \frac{2(2n + 1)}{3} + \frac{n}{2} \right]$$= \frac{n(n + 1)^2}{2} \left[ \frac{6n + 6 - 8n - 4 + 3n}{6} \right]$$= \frac{n(n + 1)^2}{12} (n + 2)$.

જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય અને $C_k = {^nC_k}$ હોય,તો $\sum\limits_{k = 1}^n {k^3\left( {\frac{C_k}{C_{k - 1}}} \right)^2}$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

$(1+x)(1-x^2)(1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3})^5, x \neq 0$ ના વિસ્તરણમાં,$x^3$ અને $x^{-13}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$(3^{1/8} + 5^{1/3})^{400}$ ના વિસ્તરણમાં સંમેય પદોની સંખ્યા કેટલી છે?

$(3^{1/4} + 7^{1/6})^{144}$ ના વિસ્તરણમાં સંમેય પદોની સંખ્યા કેટલી છે?

$\left[\frac{(x+1)}{\left(x^{2/3}-x^{1/3}+1\right)}-\frac{(x-1)}{(x-\sqrt{x})}\right]^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ $(x > 0, x \neq 1)$ થી સ્વતંત્ર પદ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module