$\left[\frac{(x+1)}{\left(x^{2/3}-x^{1/3}+1\right)}-\frac{(x-1)}{(x-\sqrt{x})}\right]^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ $(x > 0, x \neq 1)$ થી સ્વતંત્ર પદ શોધો.

જો $n$ એ બેકી ધન પૂર્ણાંક હોય,તો $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં મહત્તમ પદ એ મહત્તમ સહગુણક પણ ધરાવે તે માટેની શરત છે:

$(1+x)^{21}+(1+x)^{22}+\ldots+(1+x)^{30}$ ના વિસ્તરણમાં $x^5$ નો સહગુણક શોધો.

ધારો કે $A$ અને $B$ એ $(1+x)^{2n-1}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં અનુક્રમે $30^{\text{th}}$ અને $12^{\text{th}}$ પદના સહગુણકો છે. જો $2A = 5B$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો:

$(x^{2}-y)^{6}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ લખો.

$\left(\frac{x}{\cos \theta}+\frac{1}{x \sin \theta}\right)^{16}$ ના વિસ્તરણમાં,જો $\frac{\pi}{8} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ હોય ત્યારે $x$ થી સ્વતંત્ર પદનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\ell_{1}$ હોય અને $\frac{\pi}{16} \leq \theta \leq \frac{\pi}{8}$ હોય ત્યારે $x$ થી સ્વતંત્ર પદનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\ell_{2}$ હોય,તો ગુણોત્તર $\ell_{2} : \ell_{1}$ કેટલો થાય?