यदि फलन f(x) = x + frac{1}{x} के लिए अंतराल x | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ अंतराल $[1, 3]$ पर है।लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,कम से कम एक $c \in (1, 3)$ ऐसा मौजूद है क

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$\sqrt{3}$

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(A) दिया गया फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ अंतराल $[1, 3]$ पर है।लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,कम से कम एक $c \in (1, 3)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ हो।सबसे पहले,अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$,इसलिए $f'(c) = 1 - \frac{1}{c^2}$।अब,अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करें: $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ और $f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$।इन मानों को $LMVT$ सूत्र में रखने पर: $1 - \frac{1}{c^2} = \frac{\frac{10}{3} - 2}{3 - 1}$।दाहिनी ओर को सरल करने पर: $1 - \frac{1}{c^2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}$।$c^2$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{c^2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$,जिसका अर्थ है $c^2 = 3$।चूंकि $c \in (1, 3)$,इसलिए हम धनात्मक मान लेंगे: $c = \sqrt{3}$।

यदि फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ के लिए अंतराल $x \in [1, 3]$ पर $L.M.V.T.$ लागू होता है,तो $c$ का मान क्या है?

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