यदि वृत्तों $x^2+y^2-2x-2(3+\sqrt{7})y+8+6\sqrt{7}=0$ और $x^2+y^2-8x-6y+k^2=0, k \in \mathbb{Z}$ के ठीक दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं,तो $k$ के संभावित मानों की संख्या क्या है?

$x^2 + y^2 - 6x - 6y + 4 = 0$ और $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$ युक्त वृत्तों की समाक्षीय प्रणाली (coaxial system) का एक सीमा बिंदु (limit point) है:

List-$I$ में प्रत्येक आइटम में दो वृत्तों के समीकरण हैं,List-$II$ में List-$I$ में दिए गए वृत्तों के प्रत्येक युग्म के लिए उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या है। List-$I$ के आइटमों का List-$II$ के आइटमों से मिलान करें।

List-$I$	List-$II$
$A$. $x^2+y^2+2x+8y-23=0$,$x^2+y^2-4x-10y+19=0$	$I$. $0$
$B$. $x^2+y^2=1$,$x^2+y^2-2x-6y+6=0$	$II$. $1$
$C$. $x^2+y^2-8x+2y=0$,$x^2+y^2-2x-16y+25=0$	$III$. $2$
$D$. $x^2+y^2=4$,$x^2+y^2-2x=0$	$IV$. $3$
	$V$. $4$

यदि वृत्त $x^2 + y^2 + 2ax + c = 0$ और $x^2 + y^2 + 2by + c = 0$ एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,तो:

वृत्तों $x^2+y^2-6x-4y-23=0$ और $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

माना $C_1$ मूल बिंदु पर केंद्र वाला $1$ त्रिज्या का वृत्त है। माना $C_2$ बिंदु $A=(4,1)$ पर केंद्र वाला $r$ त्रिज्या का वृत्त है,जहाँ $1 < r < 3$ है। $C_1$ और $C_2$ की दो अलग-अलग उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $PQ$ और $ST$ खींची गई हैं। स्पर्श रेखा $PQ$,$C_1$ को $P$ पर और $C_2$ को $Q$ पर स्पर्श करती है। स्पर्श रेखा $ST$,$C_1$ को $S$ पर और $C_2$ को $T$ पर स्पर्श करती है। रेखाखंड $PQ$ और $ST$ के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा $x$-अक्ष को बिंदु $B$ पर मिलती है। यदि $AB=\sqrt{5}$ है,तो $r^2$ का मान ज्ञात कीजिए।