यदि $3^{\text{rd}}$ क्रम के आव्यूह $A$ का सारणिक $K$ है,तो आव्यूहों $(AA^T)$ और $(A-A^T)$ के सारणिकों का योग क्या होगा?

यदि $A$ कोटि $3$ का एक वर्ग आव्यूह है और $|A| = 2$ है,तो $|(A - A^T)^5| + |(A^T - A)^3|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ है। यदि $B = I - {}^{3}C_{1}(\operatorname{adj} A) + {}^{3}C_{2}(\operatorname{adj} A)^{2} - {}^{3}C_{3}(\operatorname{adj} A)^{3}$ है,तो आव्यूह $B$ के सभी अवयवों का योग क्या है?

मैट्रिक्स $A = \begin{bmatrix} 0 & 2x & 2x \\ 2y & y & -y \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ और $x \neq y$,जिसके लिए $A^T A = 3I_3$ है,ऐसे मैट्रिसेस की कुल संख्या क्या है?

मान लीजिए कि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 5 & -3 & 0 \\ -3 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$,$X$ एक $3 \times 1$ क्रम का शून्येतर आव्यूह है और $c$ एक वास्तविक संख्या है। यदि $A^2 X = cAX$ है,तो $c$ के भिन्न मानों की संख्या क्या है?

मान लीजिए $a = \lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{\ln x} - \frac{1}{x \ln x} \right)$,$b = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 16x}{4x + x^2}$,$c = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + \sin x)}{x}$,और $d = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)^3}{3(\sin(x + 1) - (x + 1))}$. तो आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ है: