यदि अतिपरवलय frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} | vedclass

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Question

(B) दिए गए समीकरण $15(e^2 + 1) = 34e$ को हम $15e^2 - 34e + 15 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(3e - 5)(5e - 3) = 0$ प्र

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$\frac{40}{3}$

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(B) दिए गए समीकरण $15(e^2 + 1) = 34e$ को हम $15e^2 - 34e + 15 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(3e - 5)(5e - 3) = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि अतिपरवलय के लिए उत्केंद्रता $e > 1$ होती है, इसलिए हम $e = 5/3$ लेंगे।अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए, $a, b,$ और $e$ के बीच संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।$e = 5/3$ रखने पर, हमें $b^2 = a^2((5/3)^2 - 1) = a^2(25/9 - 1) = 16a^2/9$ प्राप्त होता है।चूंकि अतिपरवलय $(6, 4\sqrt{3})$ से होकर गुजरता है, इसलिए $\frac{6^2}{a^2} - \frac{(4\sqrt{3})^2}{b^2} = 1$, जो सरल होकर $\frac{36}{a^2} - \frac{48}{b^2} = 1$ हो जाता है।$b^2 = 16a^2/9$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{36}{a^2} - \frac{48}{16a^2/9} = 1 \implies \frac{36}{a^2} - \frac{27}{a^2} = 1 \implies \frac{9}{a^2} = 1 \implies a^2 = 9$ प्राप्त होता है।अतः $b^2 = 16(9)/9 = 16$ है।अब दूसरे अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2(a^2 + 1)} = 1$ पर विचार करें। यहाँ $a^2 = 9$ और $b'^2 = 2(9 + 1) = 20$ है।नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b'^2}{a} = \frac{2(20)}{\sqrt{9}} = \frac{40}{3}$ है।

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माना कि $P(x_0, y_0)$ अतिपरवलय $3x^2 - 4y^2 = 36$ पर स्थित वह बिंदु है जो रेखा $3x + 2y = 1$ के सबसे निकट है। तब $\sqrt{2}(y_0 - x_0)$ का मान ज्ञात कीजिए:

निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण प्राचलिक रूप में अतिपरवलय (hyperbola) को निरूपित करता है,जहाँ $t$ एक प्राचल है?

अतिपरवलय $x^2 - 4y^2 = 36$ के उस स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x - y + 4 = 0$ पर लंब है।

उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके नाभियाँ $(-2, 0)$ और $(2, 0)$ हैं तथा उत्केंद्रता $2$ है :-

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