જો સમીકરણ $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x = 0$,જ્યાં $a_1 \neq 0$ અને $n \geq 2$,નું એક ધન બીજ $x = \alpha$ હોય,તો સમીકરણ $n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ નું એક ધન બીજ કેવું હશે?

જો રોલનું પ્રમેય વિધેય $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ માટે અંતરાલ $[-1, 1]$ માં બિંદુ $c = \frac{1}{2}$ આગળ લાગુ પડતું હોય,તો $2a + b$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ એ સતત વિધેયો છે જે અંતરાલ $(-1,2)$ પર બે વાર વિકલનીય છે. $f$ અને $g$ ના બિંદુઓ $-1, 0$ અને $2$ પરના મૂલ્યો નીચેના કોષ્ટકમાં આપ્યા મુજબ છે:

$x$	$x=-1, 0, 2$
$f(x)$	$3, 6, 0$
$g(x)$	$0, 1, -1$

દરેક અંતરાલ $(-1,0)$ અને $(0,2)$ માં વિધેય $(f-3g)^{\prime \prime}$ ક્યારેય શૂન્ય થતું નથી. તો સાચું વિધાન(નો) છે:
$(A)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(-1,0) \cup (0,2)$ માં બરાબર ત્રણ ઉકેલો છે
$(B)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(-1,0)$ માં બરાબર એક ઉકેલ છે
$(C)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(0,2)$ માં બરાબર એક ઉકેલ છે
$(D)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(-1,0)$ માં બરાબર બે ઉકેલો અને $(0,2)$ માં બરાબર બે ઉકેલો છે

અંતરાલ $[1, 5]$ પર $f(x) = \sqrt{25-x^2}$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = x(x-1)(x-2)$ માટે અંતરાલ $x \in [0, 1/2]$ પર $L.M.V.T.$ સત્ય હોય,તો $C$ ની કિંમત શોધો.

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન $I$: જો $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\ldots+\frac{a_n}{n+1}=0$, જ્યાં $a_0, a_1, \ldots, a_n$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તો બહુપદી $P(x) = a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ ને અંતરાલ $(0,1)$ માં એક શૂન્ય છે.
વિધાન $II$: જો $f:[a, b] \rightarrow R$ એ $[a, b]$ પર સતત હોય અને $f$ એ $(a, b)$ માં વિકલનીય હોય, જ્યાં $a>0$ અને જો $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}$ હોય, તો એવો $c \in(a, b)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $c f^{\prime}(c)=f(c)$ થાય.
નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?