જો પદાવલિ 5^{2n} - 48n + k એ તમામ n in N માટે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $f(n) = 5^{2n} - 48n + k = 25^n - 48n + k$.આપણે $25^n$ ને $(1 + 24)^n$ તરીકે લખી શકીએ.દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 24)^n = 1 + n(24)

Vedclass · Accepted Answer

$23$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $f(n) = 5^{2n} - 48n + k = 25^n - 48n + k$.આપણે $25^n$ ને $(1 + 24)^n$ તરીકે લખી શકીએ.દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 24)^n = 1 + n(24) + \frac{n(n-1)}{2}(24)^2 + \dots + 24^n$.તેથી,$25^n = 1 + 24n + 24^2 	imes \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,$f(n) = 1 + 24n - 48n + k + 24^2 	imes \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.$f(n) = 1 - 24n + k + 24^2 	imes \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.$f(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે $24$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,$(1 - 24n + k)$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.કારણ કે $24n$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $(1 + k)$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.આમ,$1 + k = 24m$ કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે.$k$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત માટે,$m = 1$ લેતા,$1 + k = 24$,તેથી $k = 23$.

જો પદાવલિ $5^{2n} - 48n + k$ એ તમામ $n \in N$ માટે $24$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો $k$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત શોધો.

Similar Questions

જ્યારે $10^{10} \cdot (10^{10} + 1) \cdot (10^{10} + 2)$ ને $6$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?

જ્યારે $8^{2n} - 62^{2n+1}$ ને $9$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે વધતી શેષ કેટલી છે?

જ્યારે $(2021)^{2023}$ ને $7$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?

જ્યારે $k \in N$ હોય ત્યારે $\frac{k^5}{5} + \frac{k^3}{3} + \frac{7k}{15}$ એ હંમેશા નીચેનામાંથી શું છે?

દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $n \in N$ માટે $6^{n} - 5n$ ને $25$ વડે ભાગતા હંમેશા શેષ $1$ વધે છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module