यदि फलन f : R to R को f(x) = log_a(x + sqrt{x | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})$.माना $y = f(x)$,अतः $y = \log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})$.लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$a^y = x + \sqrt{

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$\frac{a^x - a^{-x}}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})$.माना $y = f(x)$,अतः $y = \log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})$.लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$a^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$.अब,$a^{-y} = \frac{1}{a^y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}}$ पर विचार करें।हर का परिमेयकरण करने पर: $a^{-y} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{(\sqrt{x^2 + 1} + x)(\sqrt{x^2 + 1} - x)} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{(x^2 + 1) - x^2} = \sqrt{x^2 + 1} - x$.हमारे पास दो समीकरण हैं:$1) \sqrt{x^2 + 1} + x = a^y$$2) \sqrt{x^2 + 1} - x = a^{-y}$समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:$(\sqrt{x^2 + 1} + x) - (\sqrt{x^2 + 1} - x) = a^y - a^{-y}$$2x = a^y - a^{-y}$$x = \frac{a^y - a^{-y}}{2}$.अतः $f^{-1}(y) = \frac{a^y - a^{-y}}{2}$.$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{a^x - a^{-x}}{2}$ प्राप्त होता है।

यदि फलन $f : R \to R$ को $f(x) = \log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})$,जहाँ $(a > 0, a \neq 1)$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f^{-1}(x)$ है

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कारण सहित बताइए कि क्या निम्नलिखित फलन का प्रतिलोम (inverse) अस्तित्व में है: $f: \{1,2,3,4\} \rightarrow \{10\}$ जहाँ $f = \{(1,10), (2,10), (3,10), (4,10)\}$ है।

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