मान लीजिए f: R rightarrow R, g: R rightarrow | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x)=x^3+3x+2$. चूँकि $g(f(x))=x$,$g$ फलन $f$ का प्रतिलोम है। $g(f(x))=x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $g'(f(x)) \cdot f'(x)=

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$BC$

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(D) दिया गया है $f(x)=x^3+3x+2$. चूँकि $g(f(x))=x$,$g$ फलन $f$ का प्रतिलोम है। $g(f(x))=x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $g'(f(x)) \cdot f'(x)=1$ प्राप्त होता है। $g'(2)$ के लिए,हम $f(x)=2 \implies x^3+3x+2=2 \implies x^3+3x=0 \implies x(x^2+3)=0$ रखते हैं,जिससे $x=0$ प्राप्त होता है। अतः $g'(2) \cdot f'(0)=1$. चूँकि $f'(x)=3x^2+3$,इसलिए $f'(0)=3$. अतः $g'(2) = \frac{1}{3}$. विकल्प $A$ गलत है। दिया गया है $h(g(g(x)))=x$. चूँकि $g(f(x))=x$,$g(g(f(f(x))))=x$,जो दर्शाता है कि $g(g(x))=f(f(x))$। अतः $h(f(f(x)))=x$. इसका अर्थ है कि $h$ फलन $f(f(x))$ का प्रतिलोम है। हालाँकि,प्रश्न कहता है $h(g(g(x)))=x$. चूँकि $g(g(x))=f^{-1}(f^{-1}(x))$,हमारे पास $h(f^{-1}(f^{-1}(x)))=x$ है। मान लीजिए $f^{-1}(x)=y$,तो $f(y)=x$. समीकरण $h(f^{-1}(y))=f(y)$ बन जाता है। मान लीजिए $f^{-1}(y)=z$,तो $y=f(z)$. अतः $h(z)=f(f(z))$. इस प्रकार $h(x)=f(f(x))$. अब,$h'(x)=f'(f(x)) \cdot f'(x)$. $h'(1)=f'(f(1)) \cdot f'(1)$. चूँकि $f(1)=1^3+3(1)+2=6$ और $f'(x)=3x^2+3$,इसलिए $f'(1)=6$ और $f'(6)=3(6^2)+3=111$. $h'(1)=111 	imes 6=666$. विकल्प $B$ सही है। $h(0)=f(f(0))=f(2)=2^3+3(2)+2=16$. विकल्प $C$ सही है। $h(g(3))=f(f(g(3)))=f(3)=3^3+3(3)+2=38$. विकल्प $D$ गलत है। अतः,सही विकल्प $B$ और $C$ हैं।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R, g: R \rightarrow R$ और $h: R \rightarrow R$ अवकलनीय फलन हैं,जैसे कि $f(x)=x^3+3x+2, g(f(x))=x$ और $h(g(g(x)))=x$ सभी $x \in R$ के लिए। तो

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मान लीजिए $f(x) = (x + 2)^2 - 2, x \geq - 2$ है। तो $f^{-1}(x) =$

$f: (-\infty, 0] \rightarrow [0, \infty)$ को $f(x) = x^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है। इसके प्रतिलोम (inverse) का प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए।

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