यदि फलन f(x) = begin{cases} frac{sqrt{1+px}-s | vedclass

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Question

(C) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बायाँ सीमा और दायाँ सीमा बराबर होनी चाहिए,अर्थात $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(

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$\frac{-1}{2}$

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(C) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बायाँ सीमा और दायाँ सीमा बराबर होनी चाहिए,अर्थात $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)$।सबसे पहले,बायाँ सीमा की गणना करें:$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{1+px}-\sqrt{1-px}}{x}$अंश और हर को संयुग्मी $\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px}$ से गुणा करने पर:$= \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(\sqrt{1+px}-\sqrt{1-px})(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})}{x(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})}$$= \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(1+px)-(1-px)}{x(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2px}{x(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})}$$= \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2p}{\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px}} = \frac{2p}{1+1} = p$।अब,दायाँ सीमा की गणना करें:$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2x+1}{x-2} = \frac{2(0)+1}{0-2} = \frac{-1}{2}$।दोनों सीमाओं की तुलना करने पर,हमें $p = \frac{-1}{2}$ प्राप्त होता है।

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1+px}-\sqrt{1-px}}{x}, & \text{यदि } -1 \leq x < 0 \\ \frac{2x+1}{x-2}, & \text{यदि } 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$ अंतराल $[-1, 1]$ में सतत है,तो $p = $

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निर्धारित करें कि $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित फलन $f$ एक सतत फलन है?

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