निर्धारित करें कि $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित फलन $f$ एक सतत फलन है?

(A) दिया गया फलन $f$ है $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$
यह स्पष्ट है कि $f$ वास्तविक संख्या रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।
मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।
स्थिति $I$: यदि $c \neq 0$,तो $f(c) = c^2 \sin \frac{1}{c}$।
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^2 \sin \frac{1}{x}) = (\lim_{x \to c} x^2) (\lim_{x \to c} \sin \frac{1}{x}) = c^2 \sin \frac{1}{c}$।
चूंकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,इसलिए $f$ सभी बिंदुओं $x \neq 0$ पर सतत है।
स्थिति $II$: यदि $c = 0$,तो $f(0) = 0$।
हम जानते हैं कि $x \neq 0$ के लिए $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ होता है।
$x^2$ से गुणा करने पर,हमें $-x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2$ प्राप्त होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,चूंकि $\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0$ और $\lim_{x \to 0} (x^2) = 0$,इसलिए $\lim_{x \to 0} (x^2 \sin \frac{1}{x}) = 0$ होता है।
अतः,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$।
इसलिए,$f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है।
उपरोक्त अवलोकनों से,$f$ वास्तविक संख्या रेखा के प्रत्येक बिंदु पर सतत है। अतः,$f$ एक सतत फलन है।