નિર્ધારિત કરો કે $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & \text{જો } x \neq 0 \\ 0, & \text{જો } x = 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f$ સતત વિધેય છે?

(A) આપેલ વિધેય $f$ એ $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & \text{જો } x \neq 0 \\ 0, & \text{જો } x = 0 \end{cases}$ છે.
તે સ્પષ્ટ છે કે $f$ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખાના તમામ બિંદુઓ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
ધારો કે $c$ એ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
કિસ્સો $I$: જો $c \neq 0$,તો $f(c) = c^2 \sin \frac{1}{c}$.
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^2 \sin \frac{1}{x}) = (\lim_{x \to c} x^2) (\lim_{x \to c} \sin \frac{1}{x}) = c^2 \sin \frac{1}{c}$.
કારણ કે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,તેથી $f$ એ $x \neq 0$ ના તમામ બિંદુઓ પર સતત છે.
કિસ્સો $II$: જો $c = 0$,તો $f(0) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \neq 0$ માટે $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$.
$x^2$ વડે ગુણતા,આપણને $-x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2$ મળે છે.
સ્ક્વીઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) મુજબ,કારણ કે $\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0$ અને $\lim_{x \to 0} (x^2) = 0$,તેથી $\lim_{x \to 0} (x^2 \sin \frac{1}{x}) = 0$ થાય છે.
આમ,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$.
તેથી,$f$ એ $x = 0$ પર સતત છે.
ઉપરોક્ત અવલોકનો પરથી,$f$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખાના દરેક બિંદુ પર સતત છે. આમ,$f$ એ એક સતત વિધેય છે.