यदि f(x) = begin{cases} frac{8^x - 4^x - 2^x | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^-} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।दाहिनी सीमा: $\lim_{x 	o 0^+} \frac{8^x -

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$1000$

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(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^-} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।दाहिनी सीमा: $\lim_{x 	o 0^+} \frac{8^x - 4^x - 2^x + 1}{x^2} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{(4^x - 1)(2^x - 1)}{x^2} = \log 4 \cdot \log 2$.बाईं सीमा: $\lim_{x 	o 0^-} (e^x \sin x + kx + \lambda \log 4) = \lambda \log 4$.दोनों को बराबर करने पर: $\lambda \log 4 = \log 4 \cdot \log 2 \implies \lambda = \log 2$.अतः $e^\lambda = e^{\log 2} = 2$.इसलिए,$500 e^\lambda = 500 	imes 2 = 1000$.

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{8^x - 4^x - 2^x + 1}{x^2} & , \text{यदि } x > 0 \\ e^x \sin x + kx + \lambda \log 4 & , \text{यदि } x \le 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $500 e^\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि फलन $f(x) = \frac{1 - \cos 4x}{8x^2}$ जहाँ $x \ne 0$ और $f(x) = k$ जहाँ $x = 0$ पर एक सतत फलन है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x=0$ पर, फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|+2x^2}, & x \neq 0 \\ k, & x=0 \end{cases}$ है:

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